Seis millones de dólares para quien resuelva seis problemas matemáticos.

Por el momento sólo uno de los siete enigmas del milenio, enunciados en el 2000, ha sido resuelto; la conjetura de Poincaré.

1. Hipótesis de Riemann.

Riemann

Riemann

Hace pocos días aparecía la noticia de que un profesor de matemáticas nigeriano había resuelto la Hipótesis de Riemann, uno de los 7 problemas del milenio enunciados por el Clay Mathematics Institute (EE. UU.) en el año 2000, la resolución de los cuales se premia con un millón de dólares por problema. Sin embargo, rápidamente se vio que la información no era del todo cierta y que Opeyemi Enoch, así se llama el docente, no había encontrado la solución al enigma planteado en 1859.

En realidad, sólo un enigma de los siete, la conjetura de Poincaré, ha sido resuelto (oficialmente, en 2006). El resto, que aquí detallamos, continúan pendientes de resolución. Los siete problemas del milenio vienen a ser una reedición de la idea del famoso matemático David Hilbert, quien en 1900 presentó su popular lista de 23 problemas que, como los del milenio, pretendía ser un reto que ayudase a la evolución de las matemáticas. En las siguientes líneas intentamos explicar los problemas de manera didáctica. Pedimos disculpas de antemano a los doctos en la materia.

Lo que hace la hipótesis de Riemann es dar información de cómo están distribuidos los números primos.

El problema de la Hipótesis de Riemann es el más antiguo de los siete problemas del milenio. Tiene una vigencia de 156 años, ya que fue planteado por el académico Bernhard Riemann en 1859. Lo que pretende determinar la conjetura de Riemann es, dicho a groso modo, cómo se distribuyen los números primos, pero éstps mp se “reparten” de manera regular. Pero tampoco lo hacen de un modo especialmente irregular. “Si coges segmentos, tienes una idea de cuántos números primos va a haber ahí”, explica Adolfo Quirós, matemático y profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Lo que hace la hipótesis de Riemann es dar información, mucho más precisa, de cómo están distribuidos los números primos. “Euclides demostró que había infinitos números primos, y es una demostración de dos líneas”, esgrime Javier Soria, profesor de la Universidad de Barcelona (UB). Riemann dio una función, conocida como función Zeta de Riemann, cuyo comportamiento explicaría la distribución de los primos. La cuestión es determinar cuál es ese comportamiento y, más exactamente, saber dónde vale 0 la función.

2. P versus NP

P vs NP

P vs NP

Este problema mezcla dos campos de conocimiento: matemáticas e informática teórica. La cuestión que intenta resolver es si existe una relación entre comprobar la solución a un problema y encontrarla. Esta conjetura, a diferencia de otras, tiene además una trascendencia directa en el mundo físico y real, y en nuestros propios bolsillos, porque está muy relacionada con cuestiones de criptografía (ser capaces de descifrar una clave bancaria, por ejemplo).

Existe una manera de medir la complejidad del método que se utiliza para resolver un problema. Es lo que se denomina complejidad algorítmica: la dificultad en la resolución. En este sentido, existe lo que se llama los problemas P y los NP (hay que tener claro que uno no es la negación del otro). Lo que pregunta la conjetura es si P y NP son iguales. Los problemas P son los que se pueden resolver en un tiempo razonable, ya que existen algoritmos de aplicación instantánea que permiten solucionarlos.

En cambio, en los problemas que no son P, encontrar la solución, si es que existe, comportaría un tiempo que no es razonable. No existe un algoritmo P, no se conoce, para resolverlos, ni con el ordenador más rápido del mundo. “otra cosa es que yo te diga que compruebes si una solución que ye doy es válida”, apunta Javier Soria. “Por ejemplo, yo te puedo facilitar un número de trescientas cifras, lo que podrían ser los 1024 bits de las claves criptográficas, y a la vez decirte que yo sé que dicho número es el producto de dos números primos muy grandes. Y te reto a que los encuentres. Hallar la solución podría conllevar años. Pero si en lugar de eso te digo: “comprueba si este número primo divide a tu clave”. Tu sabes dividir, y eso significa que dividir números tiene un algoritmo P, de resolución automática”, añade.

“La pregunta que sale de este planteamiento es: si sabemos que hay una solución, y comprobarla es sencillo, ¿va a ser fácil encontrarla?

Pues bien, los problemas NP son aquellos que no sabes si puedes resolverlos o no, pero que a través de un algoritmo P (rápido) se puede determinar si algo es una solución o no a dicho problema. La pregunta que sale de este planteamiento es: si sabemos que hay una solución, y comprobarla es sencillo, ¿va a ser fácil encontrarla?, ¿habrá un algoritmo P que permita comprobarlo?

“Por lo que respecta a la criptografía, lo ideal sería que esta conjetura P versus NP fuera falsa, porque nuestro sistema sería vulnerable, se podría resolver con un algoritmo P”, sentencia irónicamente Javier Soria.

3. Las ecuaciones de Navier-Stokes.

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En este problema entran en juego las disciplinas de la física y las matemáticas. Lo que pretenden estas ecuaciones, que reciben su nombre de Claude Louis Navier – físico francés – y Geroge Gabriel Stokes –matemático y físico irlandés–, es explicar cómo se mueven los fluidos (líquidos y gases). La idea es entender, por ejemplo, “por qué una ola rompe y en qué condiciones lo va a hacer”, explica Adolfo Quirós.

“Navier –Stokes pretende que se pueda predecir el comportamiento de los fluidos”

Este problema tiene su origen en uno antiguo, el de las ecuaciones relativistas de Euler, que trataba de describir, en varias dimensiones, el comportamiento de un flujo (líquido o gas) en condiciones muy específicas en las que no hubiera un rozamiento. A día de hoy, las ecuaciones de Euler todavía no han sido resueltas. Navier – Stokes es un paso más allá, describe un modelo todavía más elaborado.

“Navier-Stokes pretende que se pueda predecir el comportamiento de los fluidos en unas condiciones concretas, en situaciones caóticas, donde hay una fuerza violenta, como el caso de los tornados. Son fenómenos que por su idiosincrasia son muy difíciles de estudiar con métodos numéricos”.

4. Existencia de Yang-Mills y del salto de masa.

yangLa teoría del físico chino-estadounidense Chen Ning Yang y del físico norteamericano Robert Mills se entronca con la teoría estándar de partículas. Aquí el problema es probar algo tan evidente como que las partículas tienen masa.

“Tiene un cierto parecido a un problema previo, resuelto por el matemático-físico de Princeton Elliot H. Lieb, que consistía en probar que la materia era estable, que los atomos no se iban a desintegrar”. “Venia descrito por unas ecuaciones, y lo que se quería demostrar era que fueran estables, que había un equilibrio en ellas. Desde el punto de vista de la física, a pesar de la evidencia empírica del enunciado, no era un problema que se pudiera encontrar en los libros de texto, principalmente porque no había una derivación heurística y rigurosa del mismo. Finalmente se demostró y supuso un gran resultado”, recuerda el profesor de la UB.

La idea es estudiar las ecuaciones que rigen estos modelos para saber si tienen unas buenas propiedades.

En este problema de Yang-Mills y del salto de masa ocurre algo parecido. Existe todo un modelo basado en la mecánica cuántica y en la teoría de campos, y lo que hay que probar a través de las ecuaciones es que hay una masa positiva en las partículas del modelo estándar.

Tanto en este problema como en el de Navier-Stokes, la idea es estudiar las ecuaciones que rigen estos modelos para saber si tienen unas buenas propiedades.

5. La conjetura de Birch y Swinnerton – Dyer.

birch-s-d2En esta conjetura, enunciada en 1965 por los matemáticos ingleses Bryan Birch y Peter Swinnerton – Dyer, entran en juego la teoría de números, el álgebra y el análisis. La conjetura de Birch y Swinnerton – Dyer trata de unos objetos denominados curvas elípticas, que son las soluciones de un polinomio con dos variables, “x” e “y”, de grado 3. La idea es determinar cómo es el conjunto de puntos con coordenadas racionales de una curva elíptica.

“Hay algo muy curioso que es que los puntos de una curva elíptica se pueden sumar”, apunta Quirós, “Dados dos puntos, hay una construcción muy natural que da un tercero, que es la suma. Los números enteros se consiguen a partir de un número, (ejemplo, el 1: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4…). Lo que se llama el rango de la curva elíptica sería: ¿cuántos puntos necesito para generarlos todos?”, se pregunta el profesor de la UAM.

“Es como si observo un plano”, prosigue. “Si te mueves en una sola dirección, no cubres todo el plano. Para recorrerlo todo tienes que moverte en dos direcciones. Si te dejan desplazarte en el eje norte-sur o en el este-oeste, pues moviéndote adecuadamente puedes alcanzar cualquier punto. Esto traducido en la curva elíptica sería: ¿cuántas direcciones necesito para poder llegar a todas partes a base de sumar? ¿Con cuántas tengo que empezar para ir a todas artes?”.

Estas funciones que determinarían el rango de las curvas elípticas han sido también esenciales en la demostración, por Andrew Wiles, del Último Teorema de Fermat.

Lo cierto que es difícil calcularlo, pero los matemáticos Birch y Swinnerton-Dyer dieron con una función que representaría ese rango. Han conjeturado que el rango lo puedes deducir del comportamiento de la función: si uno sabe cómo se comporta la función, sabe el rango. “Siempre que lo pones en práctica funciona, porque se cree que la conjetura es cierta. Pero hay que demostrarlo en general, como en la hipótesis de Riemann”, remata Quirós. Estas funciones que determinarían el rango de las curvas elípticas han sido también esenciales en la demostración, por Andrew Wiles, del Último Teorema de Fermat.

6. La conjetura de Hodge.

Sin duda, es el problema más abstracto de los siete del milenio. La idea de esta conjetura es que uno puede aproximar, salvo una deformación, la forma de un objeto geométrico a través de unos objetos particulares. “Por ejemplo: una esfera se puede triangular, igual que un campo de futbol”, señala Adolfo Quirós. “La superficie de un donuts, también se puede triangular, pero son triangulaciones distintas. El hecho de cómo puedes triangular y de cómo se “pegan” los triángulos te da información. Puedes obtener una estructura que te permite ver, de una manera algebraica, que el donuts tiene un agujero y la esfera no. Por supuesto, si tengo el donuts y el balón delante ya lo veo. Pero si yo tengo un objeto de dimensiones mayores del que sólo tengo una visión parcial y, por ejemplo, quiero saber si tiene agujero, pues triangulándolo podría decir si tiene o no”, agrega.

La idea principal es determinar la forma del objeto a través de las piezas que puedas utilizar para construirlo, y lo que Hodge conjeturó es que, para ciertos objetos, estas piezas se pueden definir usando polinomios.

7. La conjetura de Poincaré

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Es el único problema de los siete del milenio que ha sido resuelto. Siete años de arduo trabajo le llevó al ruso Grigori Perelman encontrar la solución. Esta conjetura, planteada en 1904 por el matemático Henri Poincaré, no obtuvo una resolución satisfactoria hasta 2002, casi 100 años después de que fuera formulada. Muchos matemáticos dudaron en principio del planteamiento de Perelman, y tendrían que pasar cuatro años para que la comunidad científica alcanzara un consenso en relación a su validez. Fue en 2006 cuando la revista científica Science calificaría la resolución de Perelman como el hallazgo estrella de año.

Perelman rechazó la Medalla Fields, que sería el Nobel de Matemáticas.

Poincaré planteó una cuestión central de la topología: el estudio de las propiedades geométricas de los objetos que no se modifican al ser estirados, doblados o comprimidos. El matemático francés propuso una conjetura: si en un cuerpo geométrico, de cualquier dimensión, puedo contraer cualquier lazo a un punto (como puedo hacer en la superficie de una manzana pero no en la superficie de un donuts), entonces el objeto (por ejemplo la superficie de la manzana) se puede deformar hasta obtener el análogo en la dimensión que sea de una superficie esférica. Y Perelman le dio categoría de teorema demostrándola en el caso más difícil (y el único que quedaba pendiente): cuando el objeto en cuestión es tridimensional.

El genio ruso no quiso cobrar el millón de dólares que el instituto Clay de Matemáticas ofrecía, y ofrece, por la resolución de los siete problemas del milenio, y es que no dirigió bien que algunos colegas matemáticos quisieran quitarle la paternidad de su hallazgo. También rechazo la Medalla Fields, lo que viene a ser el Nobel de Matemáticas.

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